电力电子技术的迅速发展使大量非线性负荷接 入电力系统 , 引起电网电压畸变, 造成谐波污染 , 不仅降低了电能质量 , 而且还威胁系统的安全运 行 。谐波污染已被公认为电网的公害 。分析谐波的 传统方法多采用傅立叶变换, 但因其不具有时域分 析能力 , 在分析时变信号有很大的局限性 。兴起于 20世纪 80年代的小波变换以其良好的时—频局部 化特性较好地克服了傅立叶变换的不足, 成为电能 质量研究中的有力工具。但绝大多数的文献都仅局 限于将小波变换用于暂态电能质量的检测及定位 , 对稳态电能质量指标 (如谐波 )小波研究并不深 入 , 多数仍停留在傅立叶变换[ 1 -3] 。本文将小波变 换进一步用于谐波的检测中, 针对多种不同谐波模型进行MATLAB仿真试验 , 并与传统的傅立叶变换结果进行比较分析 。
1 傅立叶变换与小波变换
1.1 傅立叶变换
傅立叶变换是时域或频域互相转化的工具 。从 物理意义上讲, 傅立叶变换的实质是把对原函数 f(t)的研究转化为对其傅立叶变换 f(ω)的研 究 , f(t)和 f(ω)是同一能量信号在时域和频 域的两种不同表现形式。 f(t)显示了时间信息 , 隐藏了频率信息 ; f(ω)显示了频率信息, 隐藏 了时间信息[ 4] 。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征与频域特征联系起来 , 但傅立叶变换是在信 号的整个时间内积分, 在时域内是非局部的。因此, 傅立叶变换要么在时域 , 要么在频域描述信号 的特征, 而不能对信号同时在时 —频域内进行联合分析 。也就是说, 傅立叶变换在信号分析时面临着 时域与频域的局部化矛盾。
1.2 小波变换
小波变换是一种窗口大小 (窗口面积 )固定, 但其形状可以改变 、 时间窗和频率窗都可改变的时 频局部化分析方法 。小波变换对不同的频率在时域 上的取样步长是调节性的, 在低频部分具有较高的 频率分辨率和较低的时间分辨率 ;在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率 。该特性使 小波变换具有对信号的自适应性 。可以用时 —频窗 来形象地表示小波变换的局部性 , 尺度越大 , 时窗 越宽 , 频窗越窄, 频窗中心往低频方向移动 ;尺度 越小 , 时窗越窄, 频窗越宽 , 频窗中心向高频方向 移动[ 5] 。小波的这种 “变焦 ” 特性可以形象地比 喻为 “数学显微镜 ”。
2 采样频率和分解尺度的选择
2.1 采样频率
采样频率过低会影响检测的精度;采样频率过 高会使小波变换的系数过于密集 , 运算时间长影响 实时性 。本文采样频率取为 3 200 Hz(采用 64点采样), 采样点数为 2的幂, 可以保证 FFT算法的 快速性 。由采样定理可知 , 若原信号的最高频率为 fc, 采样频率 fs必须满足 fs≥2fc才能得到各次谐波 对应的全部频谱[ 6] 。用采样频率进行傅立叶分析
2.2 小波分解尺度
利用小波进行谐波分析时 , 必须确定合理的分 解层数 , 对信号的频带进行正确划分 。频带宽度选 择与信号频率和采样频率有关。频带划分不宜过 细 , 防止采样点数过少;也不宜过宽 , 防止降低准 确性[ 7] 。频带划分的原则尽量使信号的基频位于 最低子频带的中心, 以限制基频分量对其它子频带 的影响 。实际频带的划分数目 (取整数)为
3 仿真算例
3.1 各次谐波的提取
原始信号由基波、 3 次、 5 次及 11 次谐波组 成 。相应数学表达式为
对应时域波形如图 2 (a)所示 。横坐标为仿 真时间, 总时长 0.2 s, 纵坐标为信号幅值。原始 波形由于谐波的加入而出现畸变 , 不再是标准的正 弦波 。分析电力系统典型非线性负载发现, 谐波所 占的比重不大 , 且多是奇次谐波 , 任一奇次谐波的 幅值一般不会超过基波幅值的 50%, 而且谐波次 数越高幅值越小。因此 , 式 (2)中取基波、 3次、 5次、 11次谐波的幅值依次为 1, 0.5, 0.3, 0.1。
对 640个采样点进行离散快速傅立叶变换, 幅 频图如图 2 (b)所示 。横坐标为谐波次数, 所能 检测的最高谐波次数为 31 次, 纵坐标为对应各次 谐波的幅值。考虑小波包能对高频部分进行划分, 而一维小波分解可能出现频率叠混现象 , 无法清晰 区分各次谐波 , 故用 db8对原始信号 y进行 4层小 波包分解 。根据小波包的二分频特性可知, 第 4尺 度的 [ 4, 0] 、 [ 4, 1] 、 [ 4, 2] 、 [ 4, 5] 子频带 所反映的频率范围依次为 0 ～ 100 Hz、 100 ～ 200 Hz、 200 ～ 300 Hz、 500 ～ 600 Hz, 对应 4个子频带 所反应的谐波依次为基波 、 3 次、 5 次、 11次谐 波。由于小波变换经过了二抽取, 分解到第 4尺度 的各频带采样点数目减少。为更好地反应原始信号 中的谐波成分 , 对 [ 4, 0] 、 [ 4, 1] 、 [ 4, 2] 、 [ 4, 5] 子频带进行小波系数重构, 对应的重构波 形如图 2 (c)、 (d)、 (e)、 (f)所示。横坐标为 采样点数 , 纵坐标为小波系数值 。对比图 2中的各波形可知, 傅立叶变换后 , 仅能反应原始波形中谐 波成分及幅值, 只有频域信息而无时域信息, 这就 是傅立叶变换的不足之处 。利用小波变换可以实现 基波、 3次、 5次 、 11次谐波的准确分离, 时频信 息同时可见 , 为基于相位分析的谐波补偿措施提供 了很好的依据。
3.2 谐波出现时刻检测
模拟 3次、 5次 、 11次谐波分别在不同时刻出 现 , 其数学表达式为
式 (3)表明在 t=0.065 s时出现 3次谐波, t =0.09 s时出现 5次谐波, t=0.14 s时出现 11次 谐波。总仿真时间为 10个周期 (0.2 s)。对原始 信号 y进行傅立叶变换 , 结果同图 2 (b), 仅能检 测出谐波次数。这是因为信号的时域表示中不包含 任何频域信息, 傅立叶变换未反应出随时间变化的 频率。用 db8进行一维小波分解 , 结果如图 3所 示 , (a)为含有不同时刻出现谐波的原始波形 , (b)为对应 d1尺度的小波分解波形 。很明显 , d1 尺度的 3个模极大值点即对应原始波形中 3次 、 5次、 11次谐波出现的时刻 。由此可见, 傅立叶变 换只能确定函数奇异变化的频域分布, 难以确定奇 异变化点在时间上的分布。利用小波奇异性检测原 理很容易检测出谐波出现或消失的准确时刻。表 1 进一步对检测结果进行了定量比较, 结果显示检测 误差 <1.1%, 满足工程实际要求。
3.3 振荡谐波实时波形及趋势判断
一个按指数规律衰减的高频振荡干扰谐波的数 学表达式为
由式 (4)可知, 衰减谐波干扰在 t=0.06 s 时加入。
原始时域信号波形如图 4 (a)所示 , 傅立叶 变换后的幅频图如图 4 (b)所示 。由于此模型只 含有 50 Hz和 750 Hz频率成分, 结合图 1小波包 树分解, 此处只需要用 db8对原始信号 y进行 2层 分解即可分离原始波形 , 再对 [ 2, 0] 、 [ 2, 1] 子频带小波系数进行重构, 波形如图 4 (c)、 (d) 所示 。对比傅立叶变换结果图 4 (b)和小波变换 结果图 4 (c)、 (d)可知, 傅立叶变换仅能知道 原始波形中含有基波和 15 次谐波 。由于高频振荡衰减很快, 15次谐波幅值很小;小波变换不仅能 准确获得基波的实时波形 , 而且还能清晰获取高次 谐波实时波形, 进而可以检测出干扰出现的时刻及 干扰的变化趋势等信息。
由式 (5)可知, 时变非平稳谐波干扰在 t= 0.06 s时加入 。
原始时域信号波形如图 5 (a)所示, 傅立叶变换后的幅频图如图 5 (b)所示 。用 db8对原始 信号 y进行 2层分解后再对 [ 2, 0] 、 [ 2, 1] 子 频带的小波系数进行重构, 重构波形如图 5 (c)、 (d)所示 , 图 5 两种变换结果与图 4相似 。对比 图 4和图 5 可知, 振荡衰减 (图 4)与振荡增加 (图 5)的傅立叶变换检测结果相似 , 由图 4 (b) 和图 5 (b)仅能检测出谐波次数 (含有基波和 15 次谐波), 对于谐波干扰的变化趋势 , 虽然在谐波 幅值大小上有所不同, 但实际中由于没有相对比 较, 很难判断 。
由图 4 (b)可知 , 傅立叶变换后完全丢掉了 时间信息 , 没有办法根据变换结果去判断信号发生 时间及变化趋势。小波变换能够准确提取基波和谐 波的实时波形 , 如图 4 (c)、 (d)及图 5 (c)、 (d)所示 , 由此确定谐波变化趋势, 并采取相应 的治理措施。
4 结束语
谐波测量是评定电网谐波水平和采取抑制措施 的重要手段。传统的傅立叶变换只能从信号的时域 和频域分析信号, 不能将两者有机地结合起来;小 波分析具有很好的时—频局部化能力。通过对正弦 信号的线性组合、 谐波在不同时刻出现 、 含有高频 振荡衰减谐波干扰及时变振荡递增动态谐波等多种 谐波模型进行 MATLAB仿真试验, 表明信号经过 傅立叶变换后 , 仅能获知原始信号中所含谐波次数 , 只是单纯频域分析方法, 在时域里没有分辨能 力 , 而小波变换可获取基波和谐波的实时波形 , 能 同时获取时 —频信号 , 谐波定位更准确, 为治理谐 波污染提供了重要依据。
参考文献 :
[ 1] 李天云, 陈昌雷, 周 博, 等.奇异值分解和最小二乘支 持向量机在电能质量扰动识别中的应用 [ J] .中国电机工 程学报, 2008, 28 (34).
[ 2] 王继东.基于二进小波变换的电能质量扰动检测 [ J] .电 力系统及其自动化学报, 2007, 19 (1).
[ 3] 程志友, 梁 栋, 王 年, 等.一种快速暂态电能质量扰动定位方法 [ J] .电力系统自动化, 2007, 31 (12).
[ 4] 张 斌, 孙 静.基于 Mallat算法和快速傅立叶变换的电 能质量分析方法 [ J] .电网技术, 2007, 31 (19).
[ 5] 陈仲英.小波分析 [ M] .北京:科学出版社, 2007.
[ 6] 贺家李, 宋从矩.电力系统继电保护原理 [ M] .北京:中 国电力出版社, 2004.
[ 7] GaoudaAM, KannunSH, SalamaMMA, etal.Patternrec- ognitionapplicationsforpowersystemdisturbanceclassification [ J] .IEEETrans.onPD, 2002, 17 (3).
鹏翔新闻
