压电／压磁材料具有力电／力磁转换功能、响应速度快等优点，被广泛应用于灵敏的电（磁）场探测器以及微机械设备（如硅片上的微米传感器和微米电机）传动器等各种功能元器件，在航空航天、新能源、国防信息化等重点领域发挥着极为关键作用，近年来成为材料科学、物理学与力学等领域的前沿问题之一［１－２］。随着尖端技术领域对磁、电智能元器件的广泛使用，单相压电／压磁材料的力电／力磁的耦合远不能满足尖端技术领域对磁、电智能元器件性能的应用要求．目前的实践和理论研究中利用压电材料的电致伸缩特性和压磁材料的磁致伸缩效应，通过机械力变形将效应耦合在一起可以形成层状压电／压磁复合材料。层状压电／压磁复合材料可用于灵敏度高、响应速度快、致动位移大的高品质的元件中．为此，层状压电压磁复合材料的理论和应用受到广泛的重视［３－４］。考虑到复合材料的界面在制造中极易产生夹杂、空穴等缺陷，界面两侧材料性能的失配导致应力集中以及粘接使用的导电银胶老化损伤等原因，粘结界面常成为该类材料较早产生裂纹的部位。因此，层状压电压磁复合材料的界面性能及破坏失效机理的研究受到广泛的关注［５－１４］。界面性能对层状压电压磁复合材料的电磁耦合性能等有重要的影响。考虑非理想界面条件，文献［５］研究压电压磁层状结构中的ＳＨ波。文献［６］求解了具粘性界面压电／压磁双材料的热问题。对于层状压电压磁复合材料的界面裂纹问题也有广泛的讨论，文献［７］讨论压电／压磁双材料的多个Ｉ型界面裂纹问题。对于无限层拼接而成复合结构，假设每个界面相同位置存在裂纹，文献［８］巧妙的利用周期边界条件求解含无限多个平行裂纹的此类压电／压磁复合结构的反平面问题。就层状压电／压磁复合材料在电磁场作用下的破坏失效机理，李永东等系统的研究压电／压磁层合板结构和压电／压磁层状柱结构的反平面界面问题，分析在电磁场载荷下的各类电／磁致断裂行为［９－１２］。

脆性材料受到温度、压力等作用下，微观缺陷（裂纹）会进一步扩展，造成材料的过早失效。如何拓展作为脆性材料的层状压电／压磁复合材料的使用范围，改善材料的性能，提高其可靠性，成为层状压电／压磁复合材料目前的主要研究方向之一。功能梯度材料，通过连续改变组元材料的组成比例，形成微观组成和性能呈连续平稳变化的新型非均匀介质材料。特别的，通过对材料力学性能梯度的调整可以有效的降低裂纹沿界面扩展的驱动力，从而防止微裂纹的产生，延长工件的使用寿命。因此，把功能梯

度这个概念用于层状压电／压磁复合材料，对界面力学性能的优化设计有着重要的理论指导意义［１３］。文献［１４］利用积分方程方法研究了夹在两个均匀压电半空间的功能梯度压电带界面共线双裂纹的反平面问题，分析了裂纹长度、功能梯度非均匀参数以及材料的几何尺寸等对应力强度因子的影响。本文进一步对反平面载荷作用下功能梯度层状压电／压磁双材料的界面裂纹问题进行研究。文献［１２］曾对均匀层状多铁性复合材料ＩＩＩ型界面裂纹问题进行了讨论。考虑到复合材料脆性断裂过程，很多情况裂纹呈无数条裂纹阵出现，经常可近似为周期裂纹分布［１５－１６］。因此，本文研究由功能梯度压电材料和功能梯度压磁材料组成的压电／压磁双材料，假设界面存在周期裂纹。通过运用分离变量法简洁的将混合边值问题的求解转化为Ｈｉｌｂｅｒｔ核奇异积分方程，并运用文献［１６］和［１７］介绍的专门适用Ｈｉｌｂｅｒｔ核奇异积分方程的Ｌｏｂａｔｔｏ－Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ直接数值求积法对问题进行数值求解。数值算例讨论层厚、周期带长度、梯度参数以及材料参数变动等对应力强度因子的影响。

１　问题的提出

图１所示压电／压磁双材料由梯度压电和梯度压磁材料拼接而成。压电材料厚度为ｈ１，压磁材料厚度为ｈ２（本文中，压电层中的量用下标或上标１表示；而压磁层中的量用下标或上标２表示）。二者间的粘结界面存在周期裂纹，最小周期带宽为２Ｌ。每个周期带内存在单个中心裂纹，长度为２ａ。建立如图直角坐标系，ｘ 轴位于材料的粘结界面处，ｙ 轴穿过裂纹中心且垂直于裂纹面。对于沿ｚ轴极化的压磁和压电层，在反平面变形的情况下，不考虑压电材料的导磁性以及压磁材料的导电性，压电／压磁双材料的本构，几何，平衡方程分别为［１２］

众所周知，功能梯度材料参数的实际变化形式非常复杂。对于功能梯度材料断裂问题的研究，为能方便利用一些经典的方法，如傅里叶变换和积分方程法，材料性能常假设为坐标的特定函数［１３］。问题在极坐标系以及柱坐标系下求解时，使用最广泛的是幂函数［１８］。问题在直角坐标系下求解时，使用最广泛的是指数函数［１５］。尽管这样的假设不能很好的描述功能梯度材料参数的实际变化，但相关的研究对深入理解材料梯度参数对断裂行为的影响依然有很重要的意义。目前，对于材料性能是坐标任意函数的断裂问题，一般采取将功能梯度材料分割为有限层的方法来实现近似解析求解［１３，１９］。但有限层的方法中的层数的选择和计算偏差等目前还没有被很好的处理。因此，与文献［１５］相似，这里使用被最广泛应用的指数函数来描述功能梯度材料参数的变化，假设材料性质沿着裂纹的法线方向是指数变化［１５］。

进一步分析层厚、周期带长度、梯度参数以及材料参数变动等对应力强度因子的影响，有关结果分别在图３至图６表示。图３可见裂纹端应力强度因子与材料层厚度的关系，从图中可以看到，标准化的应力强度因子随着材料层厚度的增大而变小；当厚度大于０．５以后，厚度的增加对标准化的应力强度因子减小的影响很小，可以忽略。结果与文献［１５］的相关结果保持一致。图４给出不同裂纹长度下周期带尺寸的变动对应力强度因子的影响。图３可以得到较大尺寸的裂纹将导致较大的应力强度因子，与断裂力学的基本常识一致。同时图３可以观察到，当固定裂纹长度时，应力强度因子随周期带长度增大而减小，然后趋近一个常值。这是由于周期带长度增大使裂纹间距更加稀疏，有效地减弱裂纹间的相互影响导致的结果。特别的，当Ｌ／ａ大于２时，裂纹周期分布导致的应力强度和单个裂纹情况下的结果差别很小，裂纹之间的干涉作用微弱，对裂纹端应力强度因子的影响可以忽略，结论与文献［１５］的相关结果一致。图５讨论压电／压磁层梯度参数的变动对应力强度因子的影响。结果表明应力强度因子随着压磁层梯度参数的增大而减小，随着压电层梯度参数的增大而变大。结果与文献［１８］关于层合柱结构的断裂问题的讨论一致。图６给出了材料参数变动对应力强度因子变动｜Ｋ０－Ｋ＊｜的影响。对（３７）式中的材料参数作变动处理，横坐标表示材料参数相对于（３７）式中所给值变动的百分比。对于图中每一条曲线而言，只有一个材料参数发生变动。例如，对于图中由ｃ（１）

４４０

所标识的曲线而言，只有ｃ（１）４４０发生变动。Ｋ＊ 是使用（３７）式中的材料参数得到的标准化的应力强度因子。观察图６发现弹性参数ｃ（１）４４０，ｃ（２）４４０的变动对应力强度因子的变动影响最大，其次为电参数ｅ１５０，ε１１０，磁参数ｈ１５０，μ１１０的变动对应力强度因子的变动影响最小。同文献［１８］求解层合柱结构的断裂问题时得到了一致的结果。

４　结论

应用奇异积分方程方法讨论了由梯度压电和梯度压磁材料拼接而成的层状压电／压磁双材料的反平面问题，其中双材料的粘结界面存在共线周期排布的裂纹。由于材料的梯度特性，功能梯度压电／压磁双材料中裂纹尖端的应力场与均匀压电／压磁双材料中裂纹尖端的应力场有所区别。利用分离变量法，混合边值问题转换为Ｈｉｌｂｅｒｔ核奇异积分方程进行求解。数值算例讨论层厚、周期带长度、梯度参数以及材料参数变动等对应力强度因子的影响，得到以下主要结论：

１．随着材料厚度的增加，界面裂纹尖端的应力强度因子减小。

２．压磁层梯度参数的增加以及压电层梯度参数的减小都可以阻滞裂纹扩展。

３．周期裂纹群的周期带长度对尖端应力强度因子有很大的影响，周期带宽的增加，可以有效地降低裂纹间的相互影响，从而降低裂纹尖端应力强度因子。

４．考虑材料参数的变动情况下对应力强度因子的影响，发现弹性参数的变动对应力强度因子影响最大，其次为电参数，磁参数的变动对应力强度因子影响最小。

 

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