去 噪 信 号的去噪效果可以采用信噪比改善量ΔSNR[10]来衡量,信噪比改善量定义如下:设原始时间序列为v1,v2,…,vn,降噪后的时间序列为y1,y2,…,yn,定义:
式中:σy,σv-y 分别表示去噪后信号标准偏差和噪声序列v1−y1,v2−y2,…,vn−yn 的标准差。对6 组数据进行去噪后,信噪比改善量ΔSNR 分别为:16.7940、11.6566、13.9445、12.4046、15.2167 和14.9336 dB。
3 相空间重构
滤除信号噪声后,由去噪时间序列重构相空间是分析信号的前提。相空间重构[11]基本思想是在拓扑或微分等价的意义下通过重构动力系统轨道来挖掘时间序列蕴含信息。相空间重构的方法主要有导数重构法,以及Packard 等[12]提出的使用较广的延迟坐标法。对于一维时间序列x(l),l=1,2,…,n,通过不同的时间延迟0,τ,2τ,…,(m−1)τ 来构造m 维相空间矢量[3-6]:
其中,M=n−(m−1)τ。相空间重构关键在于确定时间延迟τ 与嵌入维数m。
3.1 时间延迟的确定
时间延迟选取必须恰当,τ 值取太大使得时间序列中相邻点相关性小,如果τ 值取太小使得线性相关性强,不能充分展开相空间,恢复有规律的吸引子轨迹。本文采用互信息法求时间延迟[13]。互信息法能度量两变量总体依赖性,而且包含了时间序列的非线性特征,适用于大数据、非线性问题。Fraster[14]给出了互信息计算的递归算法:设 两离散信息序列分别为{s1,s2, … ,sn} 和{q1,q2,…,qm}构成的系统S 和Q,其信息熵分别为:
式中:Ps(si)和Pq(qj)分别为S 和Q 中事件si 和qj 的概率。给定 S 的情况下,则可获取系统Q 的信息,则互信息表示为:
式中:Psq(si,qj)为事件si 和事件qj 的联合分布概率。定义[s,q]=[x(t),x(t+τ)],则I(Q,S)是与延迟时间τ 有关的函数,不妨表示为I(τ)。取I(τ)的第1 个极小值点作为最优时间延迟。图 5 为磨损量为0.10 mm 时一个样本的互信息曲线。Matlab 计算延迟时间为23。对每种磨损量取多个样本进行计算,并取其均值,结果如表1 所示。
从表 1 中可以看出,随着磨损量增加,延迟时间总体呈现减小趋势,根据定义[s,q]=[x(t),x(t+τ)],这说明s与q 在时间序列上位置更靠近,而互信息I(τ)表示的是它们之间的相关性,则时序信号各样点相关性减小。这一结果基本与磨损信号趋势相符,磨损信号随磨损量增大逐渐变得不平稳,相关性减小,随机性增强。
3.2 嵌入维数计算
嵌入维数m 是能够完全包容以状态转移构成的吸引子的最小相空间的维数。相空间的维数也就是时间序列的时间延迟点的个数。Takens 给出m≥2d+1,d 是动力系统维数。根据上文已计算的延迟时间,本文采用Cao 方法[15]确定最小嵌入维数。Cao 采用了与虚假最近邻点法(false nearest neighbors,FNN)类似的思路,对于相空间矢量xi(l)=(xi,xi+τ,…,xi+(l-1)τ) i=1,2,…,N−(l−1)τ,定义:
当时间序列确定时,E1(m)将在m 大于一定值m0 后不再变化,可以得出最小嵌入维数是m0+1。图6 所示为磨损量0.10 mm 时的求解嵌入维曲线。
其他磨损状态下取多个样本求得的嵌入维分布范围与化整后均值见表1。嵌入维也决定了吸引子的空间结构,每一个m 维相空间矢量点,都是由单变量数据到多维空间的一个映射,重构后的相空间保留了原空间特性。
3.3 吸引子
对于看似很混乱的非线性信号,可通过重构的相空间恢复吸引子来检验其是否有自相似的结构。如果混乱是由混沌引起的,便可构造空间一定形状,也就是混沌吸引子。混沌吸引子也叫奇异吸引子,其形成实际上是轨道在相空间中经过无数次靠拢分离,分离再折叠,再靠拢,来回拉伸与折叠形成的几何图形,具有无穷层次的自相似结构。
对于试验中采集的6 种磨损状态的声发射信号,根据上文求解的延迟时间和嵌入维数重构的相空间恢复的吸引子如图7 所示。
图7 中吸引子呈现无穷嵌套的结构特征,而且空间结构在y=x 方向上展开。这种结构包含原非线性系统特性,其主要取决于合适的延迟时间和嵌入维数。混沌是“有序的无序”,而噪声是完全随机的,包含噪声的信号重构出的动力系统则可能没有那么明显的
空间形状,形状更杂乱。图8 为磨损量为0.10 mm 的含噪信号重构的吸引子相图。从图中可以看到,相比于去噪后重构的吸引子,噪声使得吸引子变得杂乱,局部细节特征被掩盖。
4 关联维数计算
关联维数是从混沌吸引子一系列的点中抽取的一种维数,反映系统复杂程度,是描述非线性动力系统的重要参数。关联维数采用G-P 算法来计算。对于相空间任意两点Xi,Xj,它们之间的距离记为rij= i j X − X ,给定一个小的正数ε,满足rij<ε 的点数目记为N0,总点数目记为N1,两者的比值记为C(ε),有:
式 中: θ(x)为单位阶跃函数。关联维数则表示为:
。绘制lnC(ε)~lnε 曲线,直线部分的斜率即为关联维数,曲线将随嵌入维数增大而趋于饱和。图9表示的是磨损量为0.10 mm 时lnC(ε)~lnε 曲线,求得的关联维数等于1.8278。
求得的其他状态下关联维数分别为:1.9224,1.8317,2.2025,2.5012,2.5739。对应表1 所示。磨损量与关联维数对应变化规律如图10 所示。
从图 10 中可以看出,关联维数基本与磨损状态呈现一种对应状态,关联维数的计算数值一定程度上反映出刀具磨损程度,也说明了重构空间分维特性。随着磨损量的增加,描述这一系统演化所需实质性变量增加,吸引子复杂程度变大。关联维数作为一个特征量可用于模式识别问题,构建磨损检测系统。
5 结 论
1)使用EMD-Wavelet 法对刀具磨损产生的声发射信号进行去噪,结果显示效果较好,刀具磨损声发射信号呈现混沌特性,混沌吸引子对噪声较敏感。
2)对于研究非线性问题,混沌理论有较强的适应性,将混沌无序信号重构出相空间来挖掘其内在信息是一种研究复杂非线性信号的基本方法
3)求解的关联维数对于识别磨损状态有指导意义。对于大量数据,通过提取特征,可使用神经网络或支持向量机来进行诊断或识别。