第一个MEMS 微型能量收集器由Lu［7］等人在2004 年设计，采用直梁结构，梁的宽长比为1/10，其固有振动频率达到3 kHz; 随后，Fang 等人［8］尝试了更低的梁宽长比( 1/100) ，使其固有振动频率降低到600Hz; 但压电梁长度的增加受微型器件空间尺寸的限制，压电层宽度的减小受MEMS 制作工艺最小线宽的限制，因此，无法通过梁宽长比的持续减小来降低梁的固有振动频率。由此，开始了振动式能量收集器结构上的改进研究，螺旋型结构梁［9］被提出，但此结构以扭转振动为主，需要外界对压电材料施加剪切力，而在实际环境中很难获得此力，推广应用受到限制。2011 年，Huicong Liu 等［10］提出了利用PZT 薄膜阵列构成的压电式悬臂梁结构，当该结构由并联电路连接时，固有频率达38．5 Hz，但最大输出功率只有11．6 nW。2014 年，重庆大学佘引等［11］提出共质量块悬臂梁阵列结构，开路输出电压有效值达到9．16V，外接负载200 Ω 时，输出功率为151．8 μW。基于上述研究基础和现状，论文提出之字形结构压电梁的微型能量收集器，并对此结构建立解析模型和进行仿真分析。
式中: m 是悬臂梁的质量，k 是刚度系数，与臂长成反比［13］。
由式( 1) 可知，要降低悬臂梁的固有振动频率，可通过等效加大梁的长度，论文提出的之字形结构悬臂梁就基于此原理，其Y 轴方向的俯视图如图1所示。图1 中，悬臂梁由多根处于同一平面的直悬臂梁组合而成，每根直臂梁与相邻梁之间通过很短的连接件相连。悬臂梁是一种复合型压电梁，其截面呈矩形。制作时，可选取Si 基片作为衬底，采用热氧化法在基片上生长一定厚度的SiO2层，在二氧化硅表面磁控溅射Pt /Ti 复合层作为压电层的下电极，通过溶胶—凝胶法( sol-gel) 在Pt /Ti 电极上旋涂LaNiO3以及PZT ( 锆钛酸铅，化学式为PbZrxTi2－XO3，PZT) 压电层，并进行相应的热处理，然后光刻和湿法腐蚀LaNiO3以及PZT 压电层，在PZT 上磁控溅射一层Al 薄膜，光刻图形化得到上电极; 通过光刻腐蚀形成之字形结构悬臂梁，悬臂梁末端的质量块由金属Ni 淀积构成，之后释放结构。为制作方便，连接件选用与直臂梁完全相同的材质。
论文采用的压电材料是d31模式，此振动模式的应力与产生的电场方向互相垂直。弯曲振动时材料受到的是正拉、压应力，和能量收集器的电极表面垂直，将在电极表面因压电效应而产生电荷; 而扭转振动时材料受到的是剪切力，剪切变形在电极平面上
产生的电荷极少［15］。因此，扭转振动相对于弯曲振动，对压电梁的有效变形贡献小很多。在下面的之字形结构压电梁输出电压的解析建模中，忽略扭转振动的影响。沿厚度方向( Y 轴方向) 极化的压电梁的弯曲振动，其本构方程为
式中: σ 为应力，S 为应变，E 为电场强度，D 为电位移; 下标1 为沿长度x 方向，3 为沿厚度y 方向，Yp是压电层的杨氏模量，d31是压电常数，εS33表示常应变下的介电常数。对于由n 根直梁构成的之字形压电梁，根据梁固定端、自由端的边界条件以及哈密顿原理，并结合上述本构方程，可推出第i 根压电复合梁的受迫弯曲振动方程［14］如下:
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式中: v( t) 表示压电梁的输出电压，yb表示基座沿梁横截面方向的位移，yrel是之字形梁相对基座的位移，E 为梁结构的弹性模量，I 为梁对于水平x 轴方向的惯性矩，EI 为压电梁的等价截面弯曲刚度，ρ 为梁密度，A 为梁横截面的面积，l 是单根梁的长度，mtip是梁自由端质量块的质量。δ( x) 是单位脉冲函数，λ 是与梁的尺寸和材料特性相关的耦合因子［15］。
由于位移yrel是位置x 和时间t 的函数，将第i 根梁的yrel进行变量分离，并写成模态形式yrel( x，t) =Σ∞q = 1wqi( x) Tq( t) ，其中下标q 表示第q 阶模态。由此，式( 3) 可变换为
式中: Pi为转换开关的值，可取1 或－1，由实际电流的方向决定。将式( 4) 两边分别乘以wqi并沿0 至l 积分，由于模态形状的正交性有
由欧拉—伯努利梁的自由弯曲振动方程可得
利用此方程将上述方程（ 5) 化简整理成关于Tq( t) 的微分方程
式中: ωq是压电梁的q 阶固有振动频率，kq、γq分别为kq =λΣni = 1Pi［w'qi( l) －w'qi( 0) ］，γq = ρAΣni = 1 ∫l0wqi dx+mtipwqn( xend) 。
将式( 6) 进行傅里叶变换，可得
式中: ηq( ω) 、V( ω) 和a( ω) 分别为Tq( t) 、v( t) 和¨yb( t) 的傅里叶变换形式。
由于压电材料采用d31模式，其沿x 方向的平均应变可表示为S1( x，t) = hpc?2yrel( x，t)?x2( hpc是压电层中心到悬臂梁中心轴的距离) ，E3( t) = v( t)hp( hp是压电层厚度) ，因此，由式( 2) 可推出电位移表达式
压电层产生并由电极收集的电荷q( t) ，可以通过将电位移沿着电极面积分得到，假设压电层宽度是b，则第i 根梁的PZT 层产生的电流为
将上式( 9) 写成模态形式
为求总电流，考虑之字形结构中所有直梁的电流总和及各梁之间的转换开关值Pi，并将其作傅里叶变换，得到之字形梁结构输出的总电流
负载上的电压为负载阻抗与电流的乘积，即V( ω) = Z( ω) Itotal( ω) ，结合式( 11) ，并将前述已知的kq、γq等参量代入，整理可得
由式( 7) 和式( 12) 可推出V( ω) 的表达式如下
由于作为电源的能量收集器和负载电阻并联，因此电路总阻抗的导纳为
式中: RL是负载电阻，cb表示能量收集器的电容。振动时的阻尼通过添加阻尼项2jωζqωq到ω2q－ω2 来表示，则由式( 13) 和( 14) 整理得到
由式( 15) 可知，当ω = ωq时，输出电压可达到一极值; 输出电压与之字形梁的结构参数有关，相互之间是一种较复杂的非线性关系。
2 之字形压电梁输出电压的仿真分析为直观表述压电梁输出电压与各影响因素之间的关系，下面对其进行仿真分析。根据图1 所示的之字形压电梁结构，取尺寸大小如表1 所示。质量块的参数为: 密度ρm = 8 800kg /m3，泊松比为μm = 0．31，弹性模量为Em = 2．01×1011 N/m2 ; 硅基材料参数: 弹性模量Es = 1． 9 × 1011N/m2，密度ρs = 2 330 kg /m3，泊松比μs = 0．23; PZT－5H 参数: 密度ρp = 7 750 kg /m3、泊松比μp = 0．27，弹性常数矩阵［c］、压电常数矩阵［e］、介电常数矩阵［ε］分别如下［16］．
利用大型有限元仿真软件ANSYS，根据上述材料与几何参数建立之字形压电梁的有限元仿真模型。建模时，由于绝缘层、电极层与压电层和衬底层相比很薄，结构中可以忽略。在下述仿真中，取组成之字形梁的直悬臂梁个数n = 10，外接150 kΩ 电
阻，之字形梁的自由端施加许用应力范围内的正弦激励F = 0．03sin( ωt) N。
图2 是之字形梁稳态响应输出电压的仿真结果。由图2 可知，当激励源的振动频率变化时，之字形梁的稳态输出电压分别在其各阶固有振动频率处达到极值，这与前述理论分析结果一致。输出电压在一阶固有频率处最大，可达14 V 左右，其他各阶处的输出电压幅值要小很多。由于一阶固有振动频率在200 Hz 以下，能与自然界存在的低频振动源形成共振，自然界存在的其他较高振动频率的激励源，虽也能与压电梁的高阶振动模态形成共振，但振动能量转换的输出电压相对一阶振动也要小很多。
随着组成之字形压电梁的直悬臂梁数目n 的增加，在相同大小的正弦激励下，其产生的电压也越大，仿真结果如图3 所示。这是因为随着梁数目的增多，其稳态响应产生的位移增大，相应的应变能变大，压电层表面产生的自由电荷也越多。因此，直梁根数的增加有助于电能的获取，但其增加是有限制的，否则容易断裂。
之字形结构压电梁的谐响应输出电压与梁的结构尺寸直接相关，改变其大小，得到一阶振动时输出电压与结构参数的关系曲线如图4 所示。由图4( a) 、4( b) 可知，输出电压随着压电梁长度的增加而降低，随宽度的增加而升高，当梁宽增加到1．2mm 时，电压增长趋缓，对输出电压的影响变弱。图4( c) 显示，压电层基体的厚度越小，其输出电压峰值越大，且其大小的变化对输出电压的影响较大。当ts = 0．5 mm 时，其峰值电压为9 V，而当ts减小到0．1 mm 时，峰值电压可达17 V。图4( d) 、4( e) 表明，质量块的厚度和长度以1 mm 为单位减小时，其输出电压峰值在几伏范围内增加。相较于基体层厚度，质量块对电压的影响较小。
3 结束语
论文提出之字形结构的微型压电式能量收集器，建立了压电复合梁的受迫振动方程和本构方程，通过求解和推导，得到系统输出电压的频域表达式。之字形压电梁输出电压解析模型的理论分析表明，当外加激励源的频率与压电梁的固有振动频率一致时，输出电压达到极值; 输出电压的大小与之字形梁的结构参数有关，相互之间是一种较复杂的非线性关系。为直观表述输出电压与各影响因素之间的关系，论文对之字形压电梁进行了ANSYS 仿真分析。仿真结果表明，输出电压随组成之字形压电梁的直梁数目增加而增大; 随着压电梁长度的增加，输出电压降低; 压电梁宽度增加，输出电压升高; 质量块长度和厚度的减小，会导致输出电压的增大，但增幅有限; 相比于质量块，基体层厚度对电压的影响较大，基体层厚度越小，其输出电压峰值越大; 但这些结构尺寸的增加或减少不是无限制的，需考虑实际MEMS 制作工艺的条件限制，同时需防止压电梁出现断裂。当组成之字形结构压电梁的直臂梁个数为10 时，在所允许正弦激励F = 0．03sin( ωt) N 作用下，之字形压电梁的输出电压可达10 V ～ 20 V，有望为间断性工作的无线传感器网络节点供电。
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